數學速算魔法

推薦序一∕心算應該怎麼學─洪萬生 ................ 02
推薦序二∕數學是科學的語言─比爾．奈（BillNye） .... 05
推薦序三∕數學是有用的語言─詹姆斯．蘭迪（JamesRandi） .. 10
作者序∕偉大的心算大師─麥克．薛莫 .............. 12
導言∕數學速算魔法的秘密─亞瑟．班傑明 ........... 23

第1 章｜速算法：簡單而又非同尋常的速算法 ... 25
（1）乘法的速算法 ...................... 25
（2）平方心算及其他 .................... 28
（3）更實用的訣竅（計算小費） ............ 32
（4）提高你的記憶力（記憶數學的技巧） ...... 32

第2 章｜多退少補：由左至右的加減法心算法則 . 34
（1）由左至右的加法運算 ................. 34
（2）兩位數的加法運算 .................. 35
（3）三位數的加法運算 .................. 37
（4）卡爾．弗里德里希．高斯：數學神童 ...... 40
（5）由左至右的減法運算 ................. 43
A. 兩位數減法 ..................... 43
B. 三位數減法運算 .................. 45
（6）補足法 .......................... 47

第3 章｜分配律：乘法心算的基本原則 ......... 51
（1）兩位數與一位數相乘 ................. 52
（2）取整法 .......................... 55
（3）三位數與一位數的乘法心算 ............ 57
（4）兩位數平方的心算法 ................. 65
（5）為什麼這些訣竅能起作用？ ............ 70
（6）澤拉．柯爾本：以心算為樂趣的快速心算大師 70

第4 章｜新穎的乘法運算：間接相乘法 ......... 74
（1）兩位數之間的乘法心算 ............... 75
A. 加法方法 ...................... 75
B. 減法方法 ....................... 80
C. 分解法 ........................ 84
（2）友好乘積數字表 .................... 87
（3）乘法心算需要有創新精神 .............. 89
（4）三位數平方的心算 .................. 92
（5）立方的心算 ....................... 96
（6）1 號門後面是什麼？ ................. 96

第5 章｜除法心算 ........................... 101
（1）除數是一位數的除法心算 ............. 101
（2）「拇指」法則 ..................... 105
（3）除數是兩位數的除法心算 ............. 108
（4）除法運算題的簡化 ................. 112
（5）分數變小數 ...................... 116
（6）整除的判斷 ...................... 122
（7）分數的加、減、乘、除和約分 .......... 126
A. 分數乘法 ..................... 126
B. 分數除法 ...................... 126
C. 分數的約分（或簡化） ............ 127
D. 分數加法 ..................... 128
E. 分數減法 ...................... 129

第6 章｜「估算」的技巧 ..................... 131
（1）加法的估算 ...................... 131
（2）喬治．帕克．比德爾：速算工程師 ...... 132
（3）估算在超市的應用 ................. 134
（4）減法估算 ........................ 135
（5）除法估算 ........................ 136
（6）乘法估算 ........................ 137
（7）平方根的估算 ..................... 140
A. 除法與平均數 .................. 140
（8）埃瓦里斯特．伽羅瓦：因決鬥而隕落的數學天才巨星 144
（9）更多關於小費計算的秘訣 ............. 146
（10）相對簡易的稅率計算 ............... 147
（11）「利率」的計算 .................. 150
（12）估算練習題 ..................... 152

第7 章｜黑板數學：神筆妙算 ................. 155
（1）長列數字的相加 ................... 155
A. 模總和查錯法 .................. 157
（2）減法的筆算 ...................... 158
（3）平方根的筆算 ..................... 159
（4）乘法的筆算 ...................... 163
（5）莎昆塔拉．戴維：世界上最聰明的女人 ... 170
（6）捨11 餘數法（或者除11 法） .......... 172
（7）筆算數學練習題 ................... 175

第8 章｜難忘的一章：數字的記憶 ............ 178
（1）記憶術的使用 ..................... 178
A. 語音代碼 ..................... 179
B. 數字的單詞清單 ................. 183
（2）記憶術的心算效用 ................. 187
A. 使心算更輕鬆 .................. 187
（3）亞歷山大．克雷格．艾特肯：神奇的記憶大師 .. 188
（4）記憶魔法 ........................ 190

第9 章｜由難變易：高級乘法運算 ............ 191
（1）四位數的平方心算 ................. 192
（2）托馬斯．富勒：博學的人是大傻瓜 ...... 196
（3）三位數與兩位數的乘法運算 ........... 197
A. 分解法 ....................... 197
B. 加法方法 ...................... 200
C. 減法方法 ...................... 202
（4）五位數的平方運算 ................. 205
（5）三位數之間的乘法運算 .............. 209
A. 分解法 ....................... 210
B. 接近法 ....................... 212
C. 加法方法 ...................... 217
D. 減法方法 ..................... 220
E. 萬能法 ....................... 221
（6）五位數相乘的乘法運算 .............. 223

第10 章｜其樂無窮：神奇的數學魔法 ......... 229
（1）通靈數學 ........................ 229
A. 通靈數學魔術的秘密 .............. 230
（2）魔術數字1089 ！ .................. 230
A. 魔術數字1089 的秘密 ............. 231
（3）缺失數字的秘密 ................... 232
（4）神奇的跳蛙加法 ................... 233
A. 神奇跳蛙加法的秘密 .............. 235
（5）數字魔方 ........................ 236
A. 如何創造數字魔方 ............... 238
B. 數字魔方的秘密 ................. 239
（6）立方根快速心算 ................... 240
A.314,432 的立方根是什麼？ .......... 241
B.19,683 的立方根是多少？ ........... 242
（7）平方根快速心算 ................... 242
A.4761 的平方根是多少？ ............ 243
（8）總和的神奇預知 ................... 243
A. 總和預知的秘密 ................. 245
（9）任意一天的星期數 ................. 245
後記∕用科學的語言─數學，來甄別謊言 ............ 253
參考答案 ................................... 263
參考書目 ................................... 301

推薦序

心算應該怎麼學？

　　1998年，當時的英國教育部長拜耳斯（Stephen Byers）在廣播節目現場回答 7×8=54 時，曾經引起了軒然大波。為此，計算機在教育過程（尤其是小學教育階段）之使用，立刻成了眾矢之的。於是，如何不甩計算機，幫助一般人從發現數字模式如何運作中激發創造力，就成為歐美許多數學普及書寫的關懷所在。其中，有些作者所建議的方法，就是老祖宗的「捏指一算」。而這當然與心算（mental calculation）息息相關！

　　不過，我們必須首先注意：心算能力絕對不等同於數學能力，這個說法是數學家社群的共識，幾乎是不證自明（self-evident）。儘管有些數學家（譬如高斯）的心算能力超強，非一般人所能望其向背，不過，擁有抽象思維能力才能成為數學家，則是不爭的事實。這是因為吾人一旦離開初等數學（elementary mathematics）的層次，幾乎所有遭遇到的數學概念都是抽象的，無法針對這些數學物件進行心智的思維活動，當然就不具備數學能力或素養了。

　　因此，我對一般的心算書籍始終不假顏色，究其原因，無非就是它們對於心算通常只知皮相，而無法深入其所以然之故。不過，現在由亞瑟．班傑明領銜所撰寫的這一本《數學速算魔法》，顯然就不一樣了。由於他是一位受過專業訓練的數學家，而且擅長魔術表演，所以，我對他如何在本書中利用快速心算，說明魔法數學的秘密，就充滿了期待。一旦讀者掌握了這些秘密，同時也能夠連結到學校曾經學過的基本數學知識，那麼，這些秘密就如同作者所強調的，「是可以使人終身受益無窮的法寶」。

　　不過，對於一般讀者的計算能力來說，本書前五章所提供的加、減、乘、除等心算方法已經綽綽有餘，如有興趣適當練習即可。至於第9章的「高級乘法計算」多少有一點表演性質，熟悉與否悉聽尊便。從提升數學能力的觀點來看，我倒是希望讀者千萬不要錯過第6、7和10這三章。第6章介紹「估算」的技巧，作者以超市購物、小費以及稅率估算為例，說明這些技巧如何與我們的日常生活息息相關。其中，作者所介紹的平方根之估算方法，與古巴比倫人的方法完全一致，這是數學史還有現代認知價值的絕佳例證，值得我們深思。第7章主題是「神筆妙算」，介紹快速筆算方法，作者也承認這類題目都用於智力訓練，而不是基於實作需求。從數學學習觀點，本章最有趣的單元，是所謂的「模總和查錯法」，這是了解模算術（modular arithmetic）概念的重要性之契機，也是初等數論的絕佳題材，值得中學數學教師參考借鏡。基於同樣的考慮，我也期待讀者願意深入研讀第10章，它的主題雖然是「魔術數學的藝術」，但是，作者卻充分利用本章的例子，說明「要想知道算術魔術的秘密，就需要知道代數學」。事實上，作者自述學習代數的理由，「卻是想要知道一些數學魔術的秘密」，這個現身說法，其實也印證了數學魔術師林壽福、吳如皓與莊惟棟等人的數學教學關懷。因此，要是老師想要結合心算技巧，跟學生分享一點數學經驗，那麼，本書第10章就是最佳切入點。

　　最後，我還要趁此機會澄清一個迷思：許多人認為快速心算的人都是天才。其實，被認為天才的本書作者亞瑟．班傑明也不這麼認為。他自認「也許我天生好奇，幹什麼事情都喜歡打破沙鍋問到底，想知道某件事到底是一個數學問題呢，還是一個魔術遊戲。」同時，根據他多年的教學經驗，他相信數學是一門每一個人都能掌握的素養或能力，但是，正如同學習其它技能一樣，只要利用正確方法努力練習，就可以獲得起碼的成就感。我們相信：對於數學學習缺乏成就感甚至感到厭惡的學生，練習心算一定可以提升他們的學習自信心，但是，數學素養或能力畢竟是關乎計算背後的原理，身為家長或教師的我們，可千萬別忽略本書作者所分享的一些數學經驗才好。

洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授