科學的高點，方程式之美：改變世界的十個方程式的故事和科學家的探險

前 言
第一章 文明的基礎：畢氏定理
第二章 古典機械論的靈魂：牛頓第二運動定律
第三章 科學革命的高峰：牛頓的重力定律
第四章 數學之美的黃金標準：尤拉方程式
第五章 科學界的莎士比亞：熱力學第二定律
第六章 19世紀最重大的事件：電磁方程式
第七章 名人方程式：E=mc2
第八章 金雞蛋：愛因斯坦的相對論方程式
第九章 量子理論的基本方程式：薛丁格方程式
第十章 與不確定共生：海森堡測不準原理
結 語
謝 辭

前言

　　多數人學到的第一個方程式非常簡單：

　　1+1=2

　　如此基本，但意義卻如此重大！它說明了加法的基本定義：一個單位加上一個單位，等於兩個單位。它之所以意義重大，是因為它展示了其他所有方程式的格式：包括算術、數學整體、物理學，以及其他科學分支。這些項（term）的排列方式，顯示了它們彼此之間一種特殊的關係。這個簡短卻基本的方程式就像一根魔法棒，開啟了許多道門。它就像是通往知識的入口--這第一小步，是後續無數步伐每一步的基礎。加拿大卡加立皇家山學院（Mount Royal College）英文教師，也是詩人的哈里森（Richard Harrison）曾經寫信給我，談到這個意義深遠的算式：

　　1+1=2是數學的童話故事，這是我教我兒子的第一個方程式，也是展現人類心智具備改變真實世界的神奇力量的第一個算式。我還記得我兒子在學這個算式的時候，他伸出兩手的食指，也就是用來比「1」的手指，當他看到被自己整個身體隔開的這兩根手指，可以在他的腦海中用一個單一的概念合而為一，那個神奇的時刻，或許是他第一個真正的哲學驚奇……當我看到兒子心智大開，知道「1+1」不僅是「1+1」的時候，了解到那個小小的方程式就像一把鑰匙，它帶領我兒子領悟的並非外在世界的驚奇，而是他自己與我們所有人內心的奇妙世界。

　　哈里森的描述提醒我們，學習一個方程式，至少像1+1=2如此基本的方程式，實際上就像一趟旅程。這趟旅程有三個階段。一開始我們對那個方程式一無所知。之後我們經由學校教育，或由於偶然因素，或出於好奇，或刻意安排，理解了那個方程式，過程中經常伴隨著不滿和挫折。最後，學習方程式的經驗轉變了我們體驗世界的方式，讓我們自然而然地，即便只是片刻瞬間，滿是驚奇。 本書探討的就是那些旅程。

　　最早的人類生活沒有方程式存在，他們也不需要方程式。伊甸園裡沒有方程式，智慧樹上也沒有方程式。蘇美人的天堂迪爾姆（Dilmun）沒有方程式，中國人信仰的盤古開天的宇宙蛋（cosmic egg）裡沒有方程式，所有其他各種神話的人類起源地也沒有方程式。當時的人類甚至沒有方程式的概念。這個概念是人類發明的，是我們試圖了解這個世界而創造的。即便如此，人類並不是某天醒來，突然決定要發明方程式。隨著時間演進，人類有了這樣的需求，於是科學化的方程式概念到了非常近期的人類歷史上才首次出現。

　　拉丁文的aequare這個字，意思是變得平坦或平均。許多現代的英文單字源於這個字根，包括adequate（適當的）、equanimity（鎮靜）、equality（同等）、equilibrium（均衡）、egalitarian（平等主義的）、equivalence（等義）、equivocation（雙關性）。「equation」這個字原先只是指分割成相等的群體。舉例來說，「equator」（赤道）是地理學家想像的一條線，把地球對分成大約均等的兩個區域。中世紀的占星家用「equation」這個字，代表他們自行把太陽與行星的運行軌道劃分成相等區域的過程，每一個區域據稱都由一個不同的星群管轄。

　　在此同時，數字和計算成為人類生活重要的一環。商人用數字來記帳、處理財務、編列預算；宗教權威利用數字來記錄年分、季節，以及如出生、死亡和結婚等特殊事件；政府官員則利用數字來進行人口統計、普查和課稅。因此開始需要發展符號，以標示數字和量。西元前3世紀，希臘數學家丟番圖（Diophantus）更進一步，利用符號代表未知的量，並建立關於這些量的運算規則，包括減法和加法。他不僅說明了如何利用符號來描述一個未知數，以便從一些已知數求得這個未知數（所謂行列式方程式〔determinate equation〕），也說明了這些符號可以藉由一個無限集合的解法來計算數字（丟番圖方程〔Diophantine equation〕或不定方程〔indeterminate equation〕）。這些離現代的方程式概念還有一大段距離。即使是伽利略（Galileo Galilei）和牛頓（Isaac Newton），也都是用文字以比（ratio）的形式來表述他們重要的研究成果，包括伽利略的落體定律和牛頓的運動定律，而不是用研究科學的學生熟悉的方程式。直到18世紀，自然科學家才習慣以今日我們所知的方程式形式，表述他們的研究結論。

　　因此，即使只是撰寫最簡單的方程式，仍需要經歷一段漫長的歷史和概念之旅。1910年，歷史上最偉大的數學家中的兩位，懷海德（Alfred North Whitehead）和羅素（Bertrand Russell），出版了條理分明、體系化的著名教科書《數學原理》（Principia Mathematica），共有三冊，以一種純邏輯的方式，完整推演出數學的基本原則。1+1=2這個方程式在哪裡第一次出現？就在第一冊的後半部！ 拜這段漫長旅程之賜，「方程式」這個詞終於有了科學意義，成為某個特別的結構化語言的一部分，指的是兩個可度量的量，或可度量的量的集合，是相等的（那麼嚴格來說，表述不等式〔inequality〕的陳述不是方程式）。在這個對現代數學和科學不可或缺、如密碼般的結構化語言中，符號代表可以用來進行各種運算（加減乘除是最簡單的例子）的其他工具的集合。

　　自從發展出這個特別的專門術語，每個方程式都經歷兩種不同類型的發現過程。首先由第一個發現某個方程式的人提出，也就是把那個方程式介紹到人類文化中的人。之後，每一個學習這個方程式的人重新發現它。

　　某個方程式的發現之旅，有著與其他歷史轉捩點不同的背景因素。方程式的出現，並不是由血腥的戰場或強大政治力量的衝突建構而成。它反而往往出現在悄然寂靜的地方，遠離令人分心的事物和外界的干擾，例如研究室和圖書館。馬克士威（James Clerk Maxwell）在他的書房裡，寫下改變世界的方程式；海森堡（Werner Heisenberg）在一座孤島上，開始匯整他的方程式。這樣的環境讓科學家處理他們的不滿，探索令人苦惱的感受，因為他們手邊拼合的作品無法適切整合，需要做某種調整或增添某個新的東西。於是科學家將注意力集中在某個問題上，那個問題往往可能用容易誤導的簡化方式來表達：這個正三角形的邊長是多少？天體之間的作用力有多強？電如何移動？可不可以把兩個看似矛盾的給定理論整合在一起？這合理嗎？

　　當解答出現的時候，它看起來合乎邏輯，甚至像是必然的結果。寇茲（Roger Cotes）在牛頓的經典名著《自然哲學的數學原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy，簡稱《原理》）第二版的一篇序言裡寫道，這部作品「獲得普遍接受」。方程式的發現者常常覺得，自己好像偶然發現某個早就存在的東西。因此，方程式就像珍寶，某個眼光獨到的人發現未經琢磨的原石，經過挖掘和檢視，置於雄偉的知識寶庫，代代相傳。方程式如此便於說明科學發現，又如此適用於教科書，可說是知識的尋寶圖。它精簡濃縮了一段艱困的過程，向我們傳達了發現者、時間、地點的訊息，往往還有成因或目的。一個事件或時刻，例如掉下一顆蘋果，成為一種提喻（以部分代表整體），清楚呈現了那段漫長的發現過程。世世代代的學者繼而藉由批評那個模型，並讓它複雜難解，贏得聲名。這個尋寶圖對所有人都有用處！

　　然而，不管這幅搜尋世界的尋寶圖多麼有用，卻會讓人以為，方程式是這個世界的基本特徵，而不是人類創造出來的。的確，我們出生在一個已經有了方程式的世界，那些方程式不是「我們」創造的。這就是為什麼有時候方程式看起來好像其實並非出自人類的發明，而是在人類出現很久以前便已存在：上帝在第八天創造了方程式，作為他的工（His work）的藍圖。或者，如伽利略所言，自然之書（Book of Nature）是用數學符號寫成的。

　　但每一個方程式都出自人類之手。它是某個人在某個特定的地點和時間統合而成，他覺得有必要對手邊的東西不滿，想要了解弄懂事情，或有時只是想讓某件看似極端複雜的事更容易理解。有時候這個創造過程掩藏於古代，就像畢氏定理（Pythagorean theorem）的例子，早在畢達哥拉斯（Pythagoras）之前，這項定理的原理就為人知曉。有時候方程式發現者的書信、草稿和筆記，詳細披露了這個創造過程，如牛頓和愛因斯坦（Albert Einstein）提出的方程式。但在任一例子裡，都不能說方程式是他們個人的成果，因為這些科學家即使獨自進行研究的時候，都在與其他科學家共同研究理解自然的過程中，進行了無數對話。

　　當英國科學家黑維塞（Oliver Heaviside）將馬克士威的研究成果，重新整理成今日眾所周知的基本形式時，也就是現在所稱的馬克士威方程式（Maxwell's equations），提到他只是想更清晰易懂地了解馬克士威的研究而已。這樣的動機，也就是意識到可以用更好的方式來表述某件已經約略了解的事，可以說是所有方程式發現者的心聲。

　　當一個人真的針對某個基本議題提出新的方程式之後，當他解決了他的不滿之後，我們自己和這個世界都將為之改變。因此，這類方程式不僅教導我們如何進行某種計算，為這相同的世界帶來新的工具，如哈里森所言，方程式還可以做「更多」。在學習1+1=2的過程中，他的兒子不只是輸入一個新的數據點，更轉換了思維，對這個世界有了一種新的理解。但這種新的理解，伴隨著新的迷惑和新的不滿。

　　哈里森的敘述最後提醒我們，方程式可以激發驚奇的感覺。科學不是一種呆板機械式的活動，讓我們漠然地靈活操縱或凝視這個世界，而是有著非常微妙情感層面的生活形式。當然，有了一項新發現或新成就時，想要開香檳慶祝的喜悅之情會油然而生。但如果科學只能激發這種情緒，也就是有了讓人名利雙收的發現而感到雀躍，將會是可悲的行業，因為這樣的時刻寥寥可數。幸運的是，科學引發的情緒更加多樣化，更加深刻。科學研究中的每一個時刻都伴隨著不斷出現的各種情緒，包括迷惘、困惑、好奇、渴望、找出答案的強烈欲望、對毫無成果的厭倦、一事無成的沮喪、方向正確帶來的狂喜。這樣的情緒始終存在，並未深藏，卻經常被忽略，不過只要我們決定留意它們，很容易就察覺到。

　　當我們第一次學會一個重要的方程式時，我們瞥見的世界結構，比我們猜想的更深層，這種方式顯露出真實世界與我們經驗中的世界兩者之間的深層連結。在這樣的時刻，我們的反應不會只是：「是啊，那樣有道理」，或甚至常說的「茅塞頓開的一刻」。後者這種簡略的說法，與指引獲取知識的尋寶圖形影相隨，因為它將伴隨發現而產生的情緒簡化並壓縮至一瞬間。這種發自內心的情緒--驚歎--更加微妙、深刻且久遠。

　　不過即使是科學家，也會因為比較醉心於這個世界和自己的利益，對最初接觸方程式的時刻興趣缺缺，自然不再對方程式心生讚歎。的確，我們會對自己太熟悉的工具或物件，變得不再驚奇。方程式可能變成看起來只是另一套隨處可得的工具，或我們基於義務必須學習的繁重工作。

　　馬克吐溫（Mark Twain）在《密西西比河上的生活》（Life on the Mississippi）一書中寫道，經驗太老道的領航員往往會經歷一段讓人懊悔的轉化過程。當他們對研判河水的水紋愈來愈駕輕就熟，同時似乎也愈來愈無法領略河川的美和詩意。河流的特色，一根浮木、水面上一道歪斜的水痕、一小片漣漪，曾經激起驚奇和讚歎之情，卻愈來愈變得只有在利用儀器進行領航的時候才有意義。類似的現象也出現在方程式的情況。

　　但偉大的科學家往往仍會對前人的科學突破，驚歎不已。物理學家威爾切克（Frank Wilczek）曾經撰寫一系列文章，討論表述牛頓第二運動定律的一次方程式F=ma，稱這個方程式為「古典力學的靈魂」，表達了極盡而適當的推崇之意。物理學家和宇宙論者錢卓塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar）寫了一部專論，探討牛頓的《原理》一書（牛頓在這本書中提出他的第二運動定律），把這本書比喻為米開朗基羅（Michelangelo）在西斯汀教堂（Sistine Chapel）天花板上的畫作。而聆聽費曼（Richard Feynman）著名的《費曼物理學講義》（Lectures on Physics）的人，會發現費曼對他要教授給學生的方程式充滿毫不靦腆、油然而生的驚歎之情。這三位知識淵博的諾貝爾獎得主，都能不斷對這個世界和方程式感到驚奇，我們則透過方程式了解世界。

　　本書旨在說明，方程式遠不像看起來那樣只是簡單的工具。就像人類製造出來的其他東西，方程式有社會意義，能夠發揮文化力量。本書檢視了一些偉大的方程式，並簡單說明方程式的發現者、這些發現背後隱藏的不滿，以及那些方程式對我們世界的本質提出哪些看法。